Une urne contient 3 boules vertes, une boule noire et une boule rouge.

A chaque étape le joueur tire une boule aléatoirement.

• Si le joueur tire une boule verte, il la garde.
• Si le joueur tire la boule noire, celle-ci est retirée du jeu
• Si le joueur tire la boule rouge, il la remet dans l'urne ainsi qu'une boule verte qu'il aurait tirée précédemment.

Si le joueur a deux boules vertes, il a gagné et le jeu s'arrête. Il n'y a donc qu'un seul état final "Gagné" !

1) Donner la matrice de transition P du processus de Markov modélisant ce jeu. Expliquez bien les différents états que vous considérez.

2) Combien y a-t-il de classes de communication ?  

3) Peut-on, grâce à un théorème, conclure à l'existence d'une distribution stable unique ? Justifiez !

4) Donnez la matrice du système à résoudre pour trouver le nombre moyen de tirages nécessaires pour terminer le jeu.