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Une application est linéaire si et seulement si (cochez tous les synonymes):

L'image de l'application est de dimension 1, ie. 1D.

L'appliction est surjective et injective.

Il existe une matrice tq. .

L'application vérifie et pour tout et .

Le graphe de est une droite.

L'application vérifie pour tout et .

Il existe une matrice et tq. .

Considérons l'application linéaire donnée par .

Une des bases possibles du noyau de est:

Considérons l'application linéaire donnée par .

Une des bases possibles de l'image de est:

Le noyau de l'application linéaire donnée par consiste de tous les vecteurs de la forme suivante:

et/ou .

pour .

avec .

et/ou .

avec .

avec .

L'image de l'application linéaire donnée par consiste de tous les vecteurs de la forme suivante:

et/ou .

avec .

avec .

et/ou .

avec .

avec .

Considérons une application , telle que représente une certaine transformation de chaque point du plan cartésien en un autre point .

Parmi les transformations classiques suivantes, trouvez toutes les transformations qui sont linéaires:

calcule les coordonnées du point qui est l'image de par la symétrie centrale selon le point .

est une rotation du point autour de l'origine par l'angle antihoraire.

calcule des coordonnées du point qui est le projeté orthogonal du point sur l'axe des .

calcule les coordonnées du point qui est l'image de par la symétrie axiale par rapport à la droite .

est une rotation du point autour du point par l'angle antihoraire.

calcule les coordonnées du point qui est l'image de par la symétrie centrale selon l'origine .

calcule les coordonnées du point qui est l'image de par la symétrie axiale par rapport à la droite (l'axe du premier et roisième quadrant).

calcule les coordonnées du point qui est le projeté orthogonal de sur la droite .

est une translation du point par deux unités le long de l'axe des , ie. et .

calcule les coordonnées du point qui est le projeté orthogonal de sur la droite .

Parmi les applications suivantes, choissez toutes les applications linéaires:

donnée par , où dénote la dérivée de selon .

donnée par .

donnée par .

donnée par .

donnée par .

donnée par , où signifie la dérivée de selon .

donnée par .

donnée par .

Considérons l'espace vectoriel .

Combien vaut sa dimension ?

Combien vaut la dimension de l'espace vectoriel de toutes matrices réelles symétriques ?