Izan bitez z^2 = x^2 + y^2 konoak, z=4 planoak, z=0 planoak mugatzen duten gorputza. Kalkula ezazu gorputzaren bolumena.

Izan bedi D \subset \mathbb{R}^2 eremu itxi bat, eta f: D \longrightarrow \mathbb{R} funtzioa, \forall (x,y) \in D definitua. f funtzioak D eremuko dentsitatea adierazten badu, bere grabitate zentroa, hurrengo moduan definitzen da:

GZ = (x_{c}, y_{c}) = \left( \frac{\int\int_{D} x f(x,y) dxdx}{\int\int_{D} f(x,y) dxdy}, \frac{\int\int_{D} y f(x,y) dxdx}{\int\int_{D} f(x,y) dxdy}\right).

Esan ezazu hurrengo inplikazioa egia ala gezurra den:

f jarraitua bada D -ko edozein puntutan, orduan, GZ \in D

Izan bedi F(x,y) irudiko D1 eremuan definitutako funtzioa. Zein

L luzerako aldeak dituen pentagono erregular baten azalera, A=\frac{5L^2}{4} \cot (\frac{\pi}{5}) formularen bidez kalkula daiteke. Hurrengo irudian azaltzen den pentagono zilindrikoaren bolumena kalkula ezazu:

Izan bedi f: \math{S} \subset \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R} funtzio jarraitua \forall (x,y,z) \in \math{S} \ . Esan ezazu hurrengo baieztapena zuzena ala okerra den:

\int \int \int_{\math{S}} f(x,y,z) dxdydz integralaren balioa, integrazio ordenarekiko independientea da, hau da, integrazio ordenak ez du integralaren balioan eraginik izango.

Izan bedi f : D \subset \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R} funtzio bat, edozein (x,y)\in D puntuan definitua dagoena. Orduan, esan ondorengo baieztapena zuzena ala okerra den:

f integragarria bada D eremu osoan, orduan ziur, f jarraitua da D eremu osoan.