• Agindu erabilgarriak / comandos útiles: Integrate, NIntegrate,

• Funtzio eskalar baten lerro integrala / Integral curvilínea de una función escalar:

• Funtzio bektorial baten lerro integrala / Integral curvilínea de una función vectorial:

Izan bedi funtzioa. Hurbil ezazu -ren balioa puntuko gainazalarekiko plano ukitzailea erabiliz (diferentzialaren bidezko hurbilketa). Zein da hurbilketan egindako errore absolutua?

Laguntza: funtzioaren puntuko plano ukitzailearen ekuazio ondorengoa da

----------------------------------------------------

Sea la función  . Aproximar el valor de utilizando el plano tangente a la superficie en el punto . ¿Cuál es el error absoluto cometido en dicha aproximación?

Ayuda: la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto es la siguiente:

Kalkula ezazu ondorengo kablearen masa, puntu bakoitzeko dentsitatea dela jakinik:

Laguntza:

• Agindu erabilgarriak: Integrate, NIntegrate
• Funtzio eskalar baten lerro integrala (3D):

-------------------------------------------------------------------------------------------

Calcular la masa del cable de la figura, sabiendo que la densidad en cada punto es :

Ayuda:

• Comandos útiles: Integrate, NIntegrate
• Integral curvilínea de una función escalar (3D): 

Zein da funtzioari dagokion gradiente-eremu diagrama?

Agindu erabilgarriak: Plot3D, ContourPlot, VectorPlot, D eta Grad

----------------------

¿Cuál es el campo de gradientes de la función ?

Comandos útiles:  Plot3D, ContourPlot, VectorPlot, D y Grad

\mathbb{r}(t) = (x(t), y(t), z(t)) parametrizazioaz definitzen den C kurba baten gaineko lerro-integrala honela definitzen da:

\int_{C}{\overrightarrow{V}\cdot d\overright{\mathbb{r}} = \int_{a}^{b} \overrightarrow{V}(\mathbb{r}(t))\cdot \mathbb{r}'(t)dt}

non a, b \in\mathbb{R} puntuak t parametrizazioko aldagaiaren definizio-eremuaren mugak diren, eta \overrightarrow{V} kurbako puntu guztietan jarraitua den bektore-eremu bat den. Integral honek, \overrightarrow{V} -k, masa bat C kurba zeharkatzean egituen duen lanaren balioa ematen digu eta ibilbidearen norabidearen menpekoa da.

Izan bedi esfera baten eta zilindro baten arteko ebakidurak definitzen duen C kurba, non esferaren eta zilindroaren ekuazioak ondorengoak diren:

x^2 + y^2 + z^2 = 1 eta (x - \frac{1}{2})^2 + y^2 = \frac{1}{4}

Kalkula ezazu kurbaren parametrizazioa t\in \[0,2\pi] aldagai baten menpe eta esan zein den aukera zuzena. Horretarako:

1. Kalkulatu XY planoko (x(t), y(t)) parametrizazioa lehenik: zilindroaren oinarriko zirkunferentzia.
2. Lortu Z aldagaiaren z(t) parametrizazioa esferaren ekuazioa erabilita.

Izan bedi (x(t), y(t), z(t)) parametrizazioaz definitzen den C kurba, non t\in \[\alpha, \beta] den eta bere bektore ukitzailearen modulua 1 den edozein (x(t), y(t), z(t)) kurbako puntutan. Demagun C kurban zehar F: \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R} funtzio jarraitu bat definitua dagoela, puntu bateko masa-dentsitatea definitzen duena. 

Jakinik C kurba F(x,y,z)=k maila-gainazal batean definitzen dela, kalkulatu C kurbaren M masa, k, \beta eta \alpha balioen menpe.

Izan bedi L jatorrian zentratutako R erradiodun zirkunferentzia. Green-en teorema aplikatuta, 

\oint_L{\frac{-y dx + x dx}{x^2+y^2}} =0

emaitza lortzen da.

Izan bitez D \subset \mathb{R}^2 eremu itxi bornatu bat mugatzen duen C kurba itxia, eta \overrightarrow{V} = (\mathbb{X}(x,y),\mathbb{Y}(x,y)) bektore eremu jarraitua \forall (x,y)\in D . Orduan, beteko da:

\oint_{C}{\overrightarrow{V}d\overrightarrow{r}} =0