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Teoria da Computação LEI & LEI-PL

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Qual das seguintes formalizações/resultados não está correta?

Seja M = (Q,Σ, q₀, A, δ) AFD, p,q∈Q e ≡⊆Q×Q definidapor p≡q sse∀x∈Σ*(δ*(p,x)∈A ↔ δ*(q,x)∈A). Então(p∈A ∧ q∉A) →¬(p≡q)

❌

Seja M = (Q,Σ, q₀, A, δ) AFD e q∈Q. O estado q é acessível em M sse∃x∈Σ* δ*(q₀,x) = q.

❌

Seja M = (Q,Σ, q₀, A, δ) AFD, p,q∈Q e ≡⊆Q×Q definidapor p≡q sse∀x∈Σ*(δ*(p,x)∈A ↔ δ*(q,x)∈A). Então∃a∈Σ δ(p,a)≡δ(q,a)→p≡q

✅

Seja M = (Q,Σ, q₀, A, δ) AFD e p,q∈Q. Os estados p e q são indistinguíveis em M sse "x∈Σ*(δ*(p,x)∈A ↔ δ*(q,x)∈A).

❌

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Seja M₁ = (Q₁,Σ, q₁, A₁, δ₁) AFND-Λ. Seja M₂ = (Q₂,Σ, q₂, A₂, δ₂) AFND, onde:

Q₂ = Q₁

q₂ = q₁

δ₂: Q₂×Σ→ Q₂ (∀q∈Q₂, ∀a∈Σ):

δ₂ (q,a) = δ₁*(q,a)

A₂= A₁∪{q₁} , seΛ({q₁})∩A₁≠∅; A₂= A₁ , seΛ({q₁})∩A₁=∅.

Na provaporinduçãoestruturalde∀x∈Σ*–{Λ} δ₂*(q,x)= δ₁*(q,x), qualdasseguintesopçõesapresentacorretamenteumaprovadatesedeindução?

δ₂*(q,xa) = ∪_r_∈_δ_2*(q,x)δ₂(r,a) def. δ^* AFND-Λ (ii)

= ∪_r_∈_δ_1*(q,x)δ₁(r,a) hipótesedeindução

= δ₁*(q,xa) def. δ^* AFND-Λ (ii)

δ₂*(q,xa) = ∪_r_∈_δ_2*(q,x)δ₂(r,a) def. δ^* AFND-Λ (ii)

= ∪_r_∈_δ_1*(q,x)δ₂(r,a) hipótesedeindução

= ∪_r_∈_δ_1*(q,x)δ₁*(r,a) def. δ₂ em M₂

= ∪_r_∈_δ_1*(q,x)Λ(∪_t_∈_δ_1*(r,_Λ₎δ₁(t,a)) def. δ^*AFND-Λ (ii)

= ∪_r_∈_δ_1*(q,x)Λ(∪_t_∈_Λ_({r})δ₁(t,a)) def. δ^*AFND-Λ (i)

= Λ(∪_r_∈_δ_1*(q,x)∪_t_∈_Λ_({r})δ₁(t,a)) Λ(A)∪Λ(B) = Λ(A∪B)

= Λ(∪_r_∈_δ_1*(q,x)δ₁(r,a)) Λ({r}) ⊆δ₁*(q,x)

= δ₁*(q,xa) def. δ^* AFND (ii)

δ₂*(q,xa) = ∪_r_∈_δ_2*(q,x)δ₂(r,a) def. δ^* AFND (ii)

= ∪_r_∈_δ_1*(q,x)δ₂(r,a) hipótesedeindução

= ∪_r_∈_δ_1*(q,x)δ₁*(r,a) def. δ₂ em M₂

= ∪_r_∈_δ_1*(q,x)Λ(∪_t_∈_δ_1*(r,_Λ₎δ₁(t,a)) def. δ^*AFND-Λ (ii)

= ∪_r_∈_δ_1*(q,x)Λ(∪_t_∈_Λ_({r})δ₁(t,a)) def. δ^*AFND-Λ (i)

= Λ(∪_r_∈_δ_1*(q,x)∪_t_∈_Λ_({r})δ₁(t,a)) Λ(A)∪Λ(B) = Λ(A∪B)

= Λ(∪_r_∈_δ_1*(q,x)δ₁(r,a)) Λ({r}) ⊆δ₁*(q,x)

= δ₁*(q,xa) def. δ^* AFND-Λ (ii)

δ₂*(q,xa) = ∪_r_∈_δ_2*(q,x)δ₂(r,a) def. δ^* AFND (ii)

= ∪_r_∈_δ_1*(q,x)δ₁(r,a) hipótesedeindução

= δ₁*(q,xa) def. δ^* AFND (ii)

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Considere o AFND-Λ M = ({A,B,C,D}, {a,b}, A, {C,D}, δ)

δ	a	b	Λ
A	∅	∅	{B,C}
B	{B}	{D}	∅
C	∅	{C}	∅
D	∅	∅	∅

Qual das seguintes afirmações é correta?

Uma vez que d*(A, baaa)Î{C,D}, M aceita baaa

Uma vez que d*(A, baaa)Ï{C,D}, M não aceita baaa.

Uma vez que d*(A, baaa)Ç{C,D}≠Æ, M aceita baaa.

Uma vez que d*(A, baaa)Ç{C,D}=Æ, M não aceita baaa.

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Considere o AFND-L M = ({A,B,C,D}, {a,b}, A, {C,D}, d)

d	a	b	L
A	Æ	Æ	{B,C}
B	{B}	{D}	Æ
C	Æ	{C}	Æ
D	Æ	Æ	Æ

Qual dos seguintes AFNDs reconhece a linguagem L(M)?

M1 = ({A,B,C,D}, {a,b}, A, {A,C,D}, d1)

d1	a	b
A	Æ	{C,D}
B	{B}	{D}
C	Æ	{C}
D	Æ	Æ

M2 = ({A,B,C,D}, {a,b}, A, {A,C,D}, d2)

d2	a	b
A	{B}	{C,D}
B	{B}	{D}
C	Æ	{C}
D	Æ	Æ

M3 = ({A,B,C,D}, {a,b}, A, {C,D}, d3)

d3	a	b
A	Æ	{C,D}
B	{B}	{D}
C	Æ	{C}
D	Æ	Æ

M4 = ({A,B,C,D}, {a,b}, A, {C,D}, d4)

d4	a	b
A	{B}	{C,D}
B	{B}	{D}
C	Æ	{C}
D	Æ	Æ

✅

❌

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Qual dos seguintes AFNDs-L reconhece a linguagem L((a+b)*(bbb)*)?

M1 = ({A,B,C,D}, {a,b}, A, {B}, d1)

d1	a	b	L
A	{A}	{A}	{B}
B	Æ	{C}	Æ
C	Æ	{D}	Æ
D	Æ	{B}	Æ

M2 = ({A,B,C,D}, {a,b}, A, {B,C}, d2)

d2	a	b	L
A	Æ	Æ	{B,C}
B	{B}	{B}	Æ
C	Æ	{D}	Æ
D	Æ	{C}	Æ

M3 = ({A,B,C,D}, {a,b}, A, {C}, d3)

d3	a	b	L
A	{A}	Æ	{B}
B	Æ	{B}	{C}
C	{D}	Æ	Æ
D	{C}	Æ	Æ

M4 = ({A,B,C,D}, {a,b}, A, {C,D}, d4)

d4	a	b	L
A	Æ	Æ	{B,C}
B	{B}	{D}	Æ
C	Æ	{C}	Æ
D	Æ	Æ	Æ

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Seja M₁ = (Q₁,Σ, q₁, A₁, δ₁) AFND. Seja M₂ = (Q₂,Σ, q₂, A₂, δ₂) AFD, onde:

Q₂ = 2^Q1

q₂ = {q₁}

δ₂: Q₂×Σ→ Q₂ (∀q∈Q₂, ∀a∈Σ):

δ₂ (q,a) = ∪_r_∈_qδ₁(r,a)

A₂={q∈Q₂ | q∩A₁≠∅}

Na provaporinduçãoestruturalde∀x∈Σ* δ₂*(q₂,x)= δ₁*(q₁,x), qualdasseguintesopçõesapresentacorretamente

umaprovada base deindução?

δ₂*(q₂,Λ) = q₂ def. δ^*AFND (i)

= {q₁} def. q₂ em M₂

= δ₁*(q₁,Λ) def. δ^*AFD (i)

δ₂*(q₂,Λ) = q₂ def. δ^*AFD (i)

= {q₁} def. q₂ em M₂

= δ₁*(q₁,Λ) def. δ^*AFND (i)

δ₂*(q₂,xa) = δ₂(δ₂*(q₂,x), a) def. δ^* AFND (ii)

= ∪_r_∈_δ_2*(q2,x)δ₁(r,a) def. δ₂ em M₂

= ∪_r_∈_δ_1*(q1,x)δ₁(r,a) hipótesedeindução

= δ₁*(q₁,xa) def. δ^* AFD (ii)

δ₂*(q₂,xa) = δ₂(δ₂*(q₂,x), a) def. δ^* AFD (ii)

= ∪_r_∈_δ_2*(q2,x)δ₁(r,a) def. δ₂ em M₂

= ∪_r_∈_δ_1*(q1,x)δ₁(r,a) hipótesedeindução

= δ₁*(q₁,xa) def. δ^* AFND (ii)

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Considere o AFND M = ({A,B,C,D}, {a,b}, A, {D}, d)

d	a	b
A	{B}	Æ
B	{B}	{B,C}
C	Æ	{D}
D	Æ	Æ

Qual dos seguintes AFDs reconhece a linguagem L(M)?

M1 = ({Æ,{A},{B},{B,C},{B,C,D}}, {a.b}, {A}, {{B,C,D}}, d1)

d1	a	b
Æ	Æ	Æ
{A}	{B}	Æ
{B}	{B}	{B,C}
{B,C}	{B}	{B,C,D}
{B,C,D}	{B}	{B,C,D}

M2 = ({Æ,{A},{B},{C},{B,D}}, {a.b}, {A}, {{B,D}}, d2)

d2	a	b
Æ	Æ	Æ
{A}	{B}	Æ
{B}	{C}	{B,D}
{C}	{B}	Æ
{B,D}	{C}	{B,D}

M3 = ({Æ,{A},{B},{C},{D}}, {a.b}, {A}, {{D}}, d3)

d3	a	b
Æ	Æ	Æ
{A}	{B}	Æ
{B}	{C}	{D}
{C}	{B}	Æ
{D}	Æ	{B}

M4 = ({{A},{A,B},{A,D},{A,B,C}}, {a.b}, {A}, {{A,D},{A,B,D}}, d4)

d4	a	b
{A}	{A,B}	{A,D}
{A,B}	{ A,B,C }	{A,D}
{A,D}	{A,B}	{A,D}
{A,B,C}	{ A,B,C }	{A,D}

Considere o AFND M = ({A,B,C,D}, {a,b}, A, {B},δ)

δ	a	b
A	{B}	∅
B	{C}	{D}
C	{B}	∅
D	∅	{B}

Qual das seguintes afirmações é correta?

Uma vez que d*(A, ab)Ç{B}=Æ, M não aceita ab.

✅

Uma vez que d*(A, ab)Ç{B}≠Æ, M aceita ab.

❌

Uma vez que d*(E, ab)Ï{B}, M não aceita ab.

❌

Uma vez que d*(A, ab)Î{B}, M aceita ab.

❌

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Qual dos seguintes AFNDs reconhece a linguagem L(a(aa+bb)*)?

M1 = ({A,B,C,D}, {a,b}, A, {D}, δ1)

δ1	a	b
A	{B}	∅
B	{B}	{B,C}
C	∅	{D}
D	∅	∅

M2 = ({A,B,C,D}, {a,b}, A, {D}, δ2)

δ2	a	b
A	{B}	∅
B	{C}	{B,D}
C	{B}	∅
D	∅	∅

M3 = ({A,B,C,D}, {a,b}, A, {B},δ3)

δ3	a	b
A	{B}	∅
B	{C}	{D}
C	{B}	∅
D	∅	{B}

M4 = ({A,B,C,D}, {a,b}, A, {C,D},δ4)

δ4	a	b
A	{A,B}	{A,D}
B	{C}	∅
C	∅	∅
D	∅	∅

❌

✅

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Considere o AFD M = ({(A,D),(A,E),(B,D),(B,E)}, {0.1}, (A,D), {(A,E)}, δ)

δ	0	1
(A,D)	(A,E)	(B,D)
(A,E)	(A,E)	(B,D)
(B,D)	(A,E)	(B,D)
(B,E)	(A,E)	(B,D)

Qual das seguintes afirmações é correta?

Uma vez que d*((B,D), 1010)Í{(A,E)}, M aceita 1010.

Uma vez que d*((A,D), 1010)Î{(A,E)}, M aceita 1010.

Uma vez que d*(A, 1010)Ï{A,E}, M não aceita 1010.

Uma vez que d*((A,D), 1010)Î{A,E}, M aceita 1010.

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