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Teoria da Computação LEI & LEI-PL

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Seja M₁ = (Q₁, S, G₁, q₁, Z₁, A₁, d₁) AP e M₂ = (Q₂, S, G₂, q₂, Z₂, A₂, d₂) AP onde:

Q₂ = Q₁È{q₂, f},

q₂,fÏQ₁

G₂ = G₁È{Z₂}, Z₂ÏG₁

A₂ = {f}

d₂(q,a,X) = d₁(q,a,X), se qÎQ₁ e X≠Z₂

d₂(q,a,X) = {(q₁,Z₁Z₂)}, se q= q₂, X=Z₂ e a=L

d₂(q,a,X) ={(f,L)}, se qÎQ₁, X=Z₂ e a=L

d₂(q,a,X) = Æ, nos restantes casos

Qual das seguintes opções apresenta corretamente uma prova de N(M₁) = L(M₂)?

xÎL(M₁) hipótese

$wÎA₁$aÎG₁^* (q₁,x,Z₁)├_M1^*(w,L,a) def. L(M)

$wÎA₁$aÎG₁^* (q₁,x,Z₁Z₂)├_M1^*(w,L,aZ₂) def. ├_M

$wÎA₁$aÎG₁^* (q₁,x,Z₁Z₂)├_M2^*(w,L,aZ₂) def. d₂ em M₂

$wÎA₁$aÎG₁^* (q₂,x,Z₂)├_M2 (q₁,x,Z₁Z₂)├_M2^*(w,L,aZ₂)├_M2(f,L,aZ₂)├_M2^*(f,L,L) def.d₂ em M₂

$fÎQ₂ (q₂,x,Z₂)├_M2^*(f,L,L) def. ├_M^* e def. M₂

xÎN(M₂) def. N(M)

xÎN(M₁) hipótese

$wÎQ₁(q₁,x,Z₁)├_M1^*(w,L,L) def. N(M)

$wÎQ₁(q₁,x,Z₁Z₂)├_M1^*(w,L,Z₂) def. ├_M

$wÎQ₁(q₁,x,Z₁Z₂)├_M2^*(w,L,Z₂) def. d₂ em M₂

$wÎQ₁(q₂,x,Z₂)├_M2 (q₁,x,Z₁Z₂)├_M2^*(w,L,Z₂)├_M2 (f,L,Z₂) def. d₂ em M₂

(q₂,x,Z₂)├_M2^*(f,L,Z₂) def. ├_M^* e def. M₂

$wÎA₂$aÎG₂^* (q₁,x,Z₂)├_M1^*(w,L,a) Lógicapredicados

xÎL(M₂) def. L(M)

50%

xÎN(M₁) hipótese

$wÎQ₁(q₁,x,Z₁)├_M1^*(w,L,L) def. L(M)

$wÎQ₁(q₁,x,Z₁Z₂)├_M1^*(w,L,Z₂) def. ├_M

$wÎQ₁(q₁,x,Z₁Z₂)├_M2^*(w,L,Z₂) def. d₂ em M₂

$wÎQ₁(q₂,x,Z₂)├_M2 (q₁,x,Z₁Z₂)├_M2^*(w,L,Z₂)├_M2 (f,L,Z₂) def. d₂ em M₂

(q₂,x,Z₂)├_M2^*(f,L,Z₂) def. ├_M^* e def. M₂

$wÎA₂$aÎG₂^* (q₁,x,Z₂)├_M1^*(w,L,a) Lógica predicados

xÎL(M₂) def. N(M)

xÎL(M₁) hipótese

$wÎA₁$aÎG₁^* (q₁,x,Z₁)├_M1^*(w,L,a) def. N(M)

$wÎA₁$aÎG₁^* (q₁,x,Z₁Z₂)├_M1^*(w,L,aZ₂) def. ├_M

$wÎA₁$aÎG₁^* (q₁,x,Z₁Z₂)├_M2^*(w,L,aZ₂) def. d₂ em M₂

$wÎA₁$aÎG₁^* (q₂,x,Z₂)├_M2 (q₁,x,Z₁Z₂)├_M2^*(w,L,aZ₂)├_M2(f,L,aZ₂)├_M2^*(f,L,L) def.d₂ em M₂

$fÎQ₂ (q₂,x,Z₂)├_M2^*(f,L,L) def. ├_M^* e def. M₂

xÎN(M₂) def. L(M)

❌

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Considere a GLC G = ({S,T},{a,b}, S, {S→ aSb|T, T→bTa|L}). Qual dos seguintes APs reconhece a linguagem L(G) pelo critério de pilha vazia?

M1=({q},{a,b}, {a,b,S,T}, q, S, Æ, d1)

(q,a,X)	d1(q,a,X)
(q, L, S)	{(q,aSb),(q,T)}
(q, L, T)	{(q,bTa),(q,L)}
(q,a,a)	{(q,L)}
(q,b,b)	{(q,L)}
…	Æ

M2=({q,p,h},{a,b}, {a,b,S,T,H}, p, H, {h}, d2)

(q,a,X)	d2(q,a,X)
(p, L, H)	{(q,SH)}
(q, L, H)	{(h, L, H)}
(q, L, S)	{(q,aSb),(q,T)}
(q, L, T)	{(q,bTa),(q,L)}
(q,a,a)	{(q,L)}
(q,b,b)	{(q,L)}
…	Æ

M3=({q},{a,b}, {a,b,S,T}, q, S, Æ, d3)

(q,a,X)	d3(q,a,X)
(q, L, S)	{(q,aS),(q,T)}
(q, L, T)	{(q,bbTa),(q,L)}
(q,a,a)	{(q,L)}
(q,b,b)	{(q,L)}
…	Æ

M4=({q,p,h},{a,b}, {a,b,S,T,H}, p, H, {h}, d4)

(q,a,X)	d4(q,a,X)
(p, L, H)	{(q,SH)}
(q, L, H)	{(h, L, H)}
(q, L, S)	{(q,aS),(q,T)}
(q, L, T)	{(q,bbTa),(q,L)}
(q,a,a)	{(q,L)}
(q,b,b)	{(q,L)}
…	Æ

Considere o AP M=({p,q,r},{a,b,c,d}, {a,b,c,d,W,S,T,R,Z₀}, p, Z₀, {r}, d)

(q,a,X)	d (q,a,X)
(p, L, Z₀)	{(q,WZ₀)}
(q, L, Z₀)	{(r,Z₀),(q,L)}
(q, L, W)	{(q,SR)}
(q, L, T)	{(q,bTc), (q,L)}
(q, L, S)	{(q,aSd), (q,T)}
(q, L, R)	{(q,aR), (q,L)}
(q,a,a)	{(q,L)}
(q,b,b)	{(q,L)}
(q,c,c)	{(q,L)}
(q,d,d)	{(q,L)}
…	Æ

Qual das seguintes sequências de movimentos justifica que abcdaÎL(M)?

(p,abcda,Z₀)├_M(q,abcda,WZ₀)├_M(q,abcda,SRZ₀)├_M(q, abcda,aSdRZ₀)

├_M(q,bcda,SdRZ₀)├_M(q,bcda,TdRZ₀)├_M(q,bcda,bTcdRZ₀)├_M(q,cda,TcdRZ₀)

├_M(q,cda,cdRZ₀)├_M(q,da,dRZ₀)├_M(q,a,RZ₀)├_M(q,a,aRZ₀)├_M(q,L,RZ₀)├_M(q,L,Z₀)

├_M(r, L,Z₀)

✅

(p,abcda,Z₀)├_M(q,abcda,WZ₀)├_M(q,abcda,SRZ₀)├_M(q, abcda,aSdRZ₀)

├_M(q,abcda,aTdRZ₀)├_M(q,abcda,abTcdRZ₀)├_M(q,abcda,abcdRZ₀)├_M(q,abcda,abcdaRZ₀)├_M(q,abcda,abcdaZ₀)├_M(q,bcda,bcdaZ₀)├_M(q,cda,cdaZ₀)├_M(q,da,daZ₀)├_M(q,a,aZ₀)├_M(q,L,Z₀)├_M(q,L,L)

❌

(p,abcda,Z₀)├_M(q,abcda,WZ₀)├_M(q,abcda,SRZ₀)├_M(q, abcda,aSdRZ₀)

├_M(q,bcda,SdRZ₀)├_M(q,bcda,TdRZ₀)├_M(q,bcda,bTcdRZ₀)├_M(q,cda,TcdRZ₀)

├_M(q,cda,cdRZ₀)├_M(q,da,dRZ₀)├_M(q,a,RZ₀)├_M(q,a,aRZ₀)├_M(q,L,RZ₀)├_M(q,L,Z₀)

├_M(q, L, L)

❌

(p,abcda,Z₀)├_M(q,abcda,WZ₀)├_M(q,abcda,SRZ₀)├_M(q, abcda,aSdRZ₀)

❌

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Seja G₁ = (V₁, S, S₁, P₁) em que L₁=L(G₁). Seja G = (V, S, S, P) GLC onde:

V = V₁È{S}

SÏV₁

P = P₁È{S→S₁S, S→L}

Qual das seguintes opções apresenta corretamente uma prova de L(G)-{L}= L(G₁)*-{L}?

xÎL(G)-{L} hipótese

SÞ_G^*x def. L(G)

$k>0 SÞ_G^*S₁^kÞ_G^*x def. P em G (S→S₁S|L únicasproduções com S e x≠L)

$k>0 S₁^kÞ_G^*x def. Þ_G^*

$k>0 S₁^kÞ_G1^*x def. P em G

$k>0 $x₁,…,x_k x=x_1…x_k e S₁Þ_G1^*x_i(i=1,…,k) def. Þ_G^*

$k>0 $x₁,…,x_k x=x_1…x_k e x_iÎL(G₁) (i=1,…,k) def. L(G)

$k>0 $x_1…x_kx=x_1…x_k e xÎL(G₁)^k def. Lⁿ

xÎL(G₁)* def. L* e x≠L

R3:

xÎL(G)-{L} hipótese

SÞ_G^*x def. Lⁿ

$k>0 SÞ_G^*S₁^kÞ_G^*x def. P em G (S→S₁S|L únicasproduções com S e x≠L)

$k>0 S₁^kÞ_G^*x def. Þ_G^*

$k>0 S₁^kÞ_G1^*x def. P em G

$k>0 $x₁,…,x_k x=x_1…x_k e S₁Þ_G1^*x_i(i=1,…,k) def. Þ_G^*

$k>0 $x₁,…,x_k x=x_1…x_k e x_iÎL(G₁) (i=1,…,k) def. L(G)

$k>0 $x_1…x_kx=x_1…x_k e xÎL(G₁)^k def. L(G)

xÎL(G₁)* def. L* e x≠L

xÎL(G)-{L} hipótese

SÞ_G^*x def. Þ_G^*

$k>0 SÞ_G^*S₁^kÞ_G^*x def. P em G (S→S₁S|L únicasproduções com S e x≠L)

$k>0 S₁^kÞ_G^*x def. L(G)

$k>0 S₁^kÞ_G1^*x def. P em G

$k>0 $x₁,…,x_k x=x_1…x_k e S₁Þ_G1^*x_i(i=1,…,k) def. Þ_G^*

$k>0 $x₁,…,x_k x=x_1…x_k e x_iÎL(G₁) (i=1,…,k) def. L(G)

$k>0 $x_1…x_kx=x_1…x_k e xÎL(G₁)^k def. Lⁿ

xÎL(G₁)* def. L* e x≠L

ÎL(G)-{L} hipótese

SÞ_G^*x def. L(G)

$k>0 SÞ_G^*S₁^kÞ_G^*x def. P em G (S→S₁S|L únicasproduções com S e x≠L)

$k>0 S₁^kÞ_G^*x def. L* e x≠L

$k>0 S₁^kÞ_G1^*x def. P em G

$k>0 $x₁,…,x_k x=x_1…x_k e S₁Þ_G1^*x_i(i=1,…,k) def. Þ_G^*

$k>0 $x₁,…,x_k x=x_1…x_k e x_iÎL(G₁) (i=1,…,k) def. L(G)

$k>0 $x_1…x_kx=x_1…x_k e xÎL(G₁)^k def. Lⁿ

xÎL(G₁)* def. Þ_G^*

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Considere o AFD M = (Q, S, q₀, A, d). Qual das seguintes GRs reconhce a linguagem L(M) –{L}?

G1 = (V₁, S, S₁, P₁) GR onde:

V₁ = Q

S₁ = q₀

P₁ = {p | q® apÎP}È{f | q® aÎP}

G2 = (V₂, S, S₂, P₂) GR onde:

V₂ = Q

S₂ = q₀

P₂ = {B® aC | d(B,a) = C}È{B® a | d(B,a)ÎA}

G3 = (V₃, S, S₃, P₃) GR onde:

V₃ = A

S₃ = q₀

P₃ = {B® aC | d(B,a) = C}È{B® a | d(B,a)ÎA}

G4 = (V₄, S, S₄, P₄) GR onde:

V₄ = Q

S₄ = q₀

P₄ = {B® aC | d(B,a) = C}

Considere a GR G = ({A,B,C},{0,1}, A, {A ® 1A|0B|1, B ® 0C|1B|0, C ® 0A|1B})

Qual dos seguintes autómatos finitos reconhece a linguagem L(G)?

M1 = ({A,B,C,D}, {0,1}, A, {D}, d1)

d1	0	1
A	{B}	{A,D}
B	{C,D}	{B}
C	{A}	{B}
D	Æ	Æ

M2 = ({A,B,C,D}, {0,1}, A, {D}, d2)

d2	0	1
A	{B}	{A}
B	{C}	{B}
C	{A}	{B}
D	Æ	Æ

M3 = ({A,B,C,D}, {0,1}, A, {D}, d3)

d3	0	1
A	B	A
B	C	B
C	A	B
D	Æ	Æ

M4 = ({A,B,C}, {0,1}, A, {C}, d4)

d4	0	1
A	{B}	{A}
B	{C}	{B}
C	{A}	{B}

Considere a GLC T = ({A,B}, {0,1}, A, {A→0A|B, B→1B|1})

Qual das seguintes GLCs reconhece a linguagem L(T)*?

G1 = ({A,B,C}, {0,1}, C, {A→0A|B, B→1B|1, C→AC|A })

G2 = ({A,B,C}, {0,1}, C, {A→0A|B, B→1B|1, C→AC|L })

G3 = ({A,B}, {0,1}, A, {A→0A|B|AA|L, B→1B|1})

G4 = ({A,B}, {0,1}, B, {A→0A|B, B→1B|1, B→AB|L })

Seja M₁ = (Q₁,Σ, q₁, A₁, δ₁) AFD e ≡⊆Q₁×Q₁ a relação em Q₁definidapor p≡q sse∀x∈Σ*(δ*(p,x)∈A₁↔ δ*(q,x)∈A₁). Seja M₂ = (Q₂,Σ, q₂, A₂, δ₂) AFD, onde:

Q₂ = {[q]_≡| q∈Q₁}

q₂ = [q₁]_≡

δ₂: Q₂×Σ→ Q₂ (∀q∈Q₁, ∀a∈Σ):

δ₂ ([q]_≡,a) = [δ₁(q,a)]_≡

A₂={[q]_≡| q∈A₁}

Na provaporinduçãoestruturalde (∀x∈∑^*) δ₂^*(q₂,x) = [δ₁^*(q₁,x)]_≡, qualdasseguintesopçõesapresentacorretamenteumaprovadatesedeindução?

δ₂^*(q₂,xa) = δ₂(δ₂^*(q₂,x),a) def. δ^* AFD (ii)

= δ₂([δ₁^*(q₁,x)]_≡,a) hipótesedeindução

= [δ₁(δ₁^*(q₁,x),a)]_≡ def. δ₂ em M₂

= [δ₁^*(q₁,xa)]_≡ def. δ^* AFD (ii)

✅

δ₂^*(q₂,xa) = δ₂(δ₂^*(q₂,x),a) def. δ^* AFD (ii)

= δ₂([δ₁^*(q₁,x)]_≡,a) hipótesedeindução

= δ₁(δ₁^*(q₁,x),a)]_≡ def. darelaçãodeindistinguibilidade≡

= [δ₁^*(q₁,xa)]_≡ def. δ^* AFD (ii)

❌

δ₂^*(q₂,Λ) = q₂ def. δ^*AFD (i)

= [q₁]_≡def. q₂em M₂

= [δ₁^*(q₁,Λ)]_≡def. δ^*AFND (i)

❌

_δ2^*(q₂,Λ) = q₂ def. δ^*AFD (i)

= [q₁]_≡def. q₂em M₂

= [δ₁^*(q₁,Λ)]_≡def. δ^*AFD (i)

❌

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Na determinação de estados indistinguíveis AFDM=({1,2,3,4,5,6}, {0,1}, 1, {1,2,3,4},d)

d	0	1
1	2	3
2	4	3
3	2	3
4	4	5
5	4	6
6	6	6

obteve-se a seguinte tabela:

2	3
3		3
4	2	2	2
5	1	1	1	1
6	1	1	1	1	2
	1	2	3	4	5

Qual dos seguintes AFDs reconhece a linguagem L(M)?

M1=({[1]_≡,[2]_≡,[5]_≡,[6]_≡},{0,1}, [1]_≡, {[1]_≡,[2]_≡,[6]_≡},d1)

d1	0	1
[1]_≡	[2]_≡	[1]_≡
[2]_≡	[4]_≡	[1]_≡
[5]_≡	[4]_≡	[6]_≡
[6]_≡	[6]_≡	[6]_≡

M2=({[1]_≡,[2]_≡,[5]_≡,[6]_≡},{0,1}, [1]_≡, {[1]_≡,[2]_≡},d2)

d2	0	1
[1]_≡	[2]_≡	[1]_≡
[2]_≡	[4]_≡	[1]_≡
[5]_≡	[4]_≡	[6]_≡
[6]_≡	[6]_≡	[6]_≡

M3=({[1]_≡,[2]_≡,[4]_≡,[5]_≡,[6]_≡},{0,1}, [1]_≡, {[1]_≡,[2]_≡,[4]_≡},d3)

d3	0	1
[1]_≡	[2]_≡	[1]_≡
[2]_≡	[4]_≡	[1]_≡
[4]_≡	[4]_≡	[5]_≡
[5]_≡	[4]_≡	[6]_≡
[6]_≡	[6]_≡	[6]_≡

M4=({[1]_≡,[2]_≡,[4]_≡,[5]_≡,[6]_≡},{0,1}, [1]_≡, {[1]_≡,[4]_≡},d4)

d4	0	1
[1]_≡	[2]_≡	[1]_≡
[2]_≡	[4]_≡	[1]_≡
[4]_≡	[4]_≡	[5]_≡
[5]_≡	[4]_≡	[6]_≡
[6]_≡	[6]_≡	[6]_≡

❌

✅

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Considere o AFDM = ({A,B,C,D}, {a,b}, A, {A,C}, δ)

δ	a	b
A	A	B
B	B	C
C	C	D
D	C	B

Qual das seguintes tabelas está completamente preenchida na determinação de estados indistinguiveis?

T1:

B	1
C	3	1
D	1	2	1
	A	B	C

T2:

B	1
C		1
D	1		1
	A	B	C

T3:

B	1
C		1
D	1	2	1
	A	B	C

T4:

B	1
C	1	1
D	1		1
	A	B	C

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