L’expression du produit scalaire est la même dans toutes les bases orthonormales.

Pour tout vecteur et tout réel:

||kx|| = k ||x||

La norme du projeté orthogonal d'un vecteur est inférieure ou égale à la norme de ce vecteur.

La distance d'un vecteur à un élément quelconque d'un sous-espace vectoriel est supérieure ou égale à la distance de ce vecteur à son projeté orthogonal sur ce sous-espace.

 Toute famille libre d’un espace vectoriel euclidien peut être complétée en une base orthonormale.

Dans un espace vectoriel euclidien, un sous-espace vectoriel et son orthogonal sont supplémentaires.

Toute famille orthogonale est libre.

Toute forme linéaire sur un espace vectoriel euclidien associe à un vecteur son produit scalaire par un vecteur fixé.

 Le seul vecteur orthogonal à tous les éléments de est le vecteur nul.

Pour tous vecteurs x et y d’un e.v. euclidien :