初期宇宙の元素合成は５と８の原子核が安定でないためにストップします。

もし、５と８の原子核が安定だったら宇宙の歴史はどうなっていたでしょうか？推測できることを書きなさい。

熱力学のときに触れたように、熱は粒子の運動エネルギーに他なりません。温度を伝えているのは運動している粒子（例えば光）です。温度をT[K]としたとき、eV単位であらわしたエネルギーはおおよそ

E=k_B T

と書けます。ここでk_B=8\times 10^{-5} eV/K です。太陽内で起こっている核融合反応が動画内で紹介されています。この反応はppから融合することで束縛が強くなり、余ったエネルギーは放出されて太陽が光ります。

しかし、まわりの温度が十分高いときには、この反応が逆向きにも起こります（化学の平衡状態と同じです）。このときまわりの温度がどれくらいだったら平衡状態になるでしょうか。

１で得た方程式と２の境界条件を利用して、ソリトンの全エネルギーEを積分して求めなさい。途中の解を求めなくてもエネルギーが計算出来ることがわかる。

ヒント：

１の関係式を変形すると

d\phi = \cdots \times dx

の形になるはずである。これを利用してエネルギーのｘ積分をφの積分に直すことができる。普通の積分をすると最後の結果は動画と似たような形になる.

\quad V(\phi ) = \frac{\lambda }{2}{({\phi ^2} - {a^2})^2}

にしたがうソリトンをサインゴルドンと同じように考えてみよう。

この場合、時間に依存しない場合の運動方程式は

-\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial V}{\partial \phi}=0

である。動画と同様に、この方程式の両辺を積分しなさい。またそのときに現れる積分定数を

E=\int^\infty_{-\infty} dx\; [ \frac{1}{2}{\left( {\frac{{\partial \phi }}{{\partial x}}} \right)^2}+V(\phi) ]

前問で求めた方程式において解を求めるために、1の解を代入しても「格子が間隔aで並んでいる」という状況が入ってこない。

こういった場合に、物理学では位置がaだけずれている状況を

{u_n}(t) = A\exp [i(ka - \omega t)]

と表す。異なるnの解はaだけ平行移動していることから、kaの部分をaだけ増減して、

{u_{n+1}}(t) = A\exp [i(k (2a) - \omega t)]

この場合のｋはこの振動運動の波数を表す（波長の逆数）。これらの解を代入して、振動数が満たす関係式を導出しなさい。

（Aは振幅の定数、ｋは波数で2π/波長である。、ωは角振動数）以下から正しいものを選びなさい。

また、このときのkとωの関係をグラフにして、「課題提出」の欄から提出すること。

最初の問題を応用して、1次元で等間隔にばねが配置された物理系を考えてみる。

質量のMの粒子が多数個1次元ｘ軸上に配置されており、i番目の粒子を位置座標をu_nで表す。これらの粒子は隣接する二つの粒子とばね定数Kのばねで結ばれています。（u_nの原点はそれぞれの粒子が平衡位置にいる場合にとっている）

それぞれのばねは、両側から変位に比例した力を受ける。例えばi番目の粒子はi+1番目の粒子から

-k(u_i(t) - u_{i+1}(t))

の力を受ける。同様に左側の粒子からも力を受ける。

これらを用いてi番目の粒子がしたがう運動方程式を書くとき

M\frac{{{d^2}{u_n}(t)}}{{d{t^2}}}=

の右辺に当てはまるものを書きなさい。

量子力学（に限らないですが）では波の性質を持つものは、その波数kと角振動数\omegaはある関係にしたがっており、それを分散関係と呼びます。この関係式はその波の性質を反映しています。

動画の最初の方で出てくる、幅aの領域に閉じ込められた自由粒子（スライド7ページあたり）を見てください。波動関数が載っています。

その結果(sinの式）に\sin kxと現れているのが波数ｋで、量子数nを用いて表せています。

一方エネルギーは計算した通りですが、エネルギーと角振動数の関係はE=\hbar \omegaです。

これらを用いて波数ｋとωの関係式として正しいものを以下から選びなさい。この関係式を非相対論的粒子の分散関係となります。

原子が多数並んでいるときの分散関係を求めたいのですが、そのためには複雑な量子力学の計算が必要になります。ここでは古典力学のばねを用いて、原子中の格子の運動を考えてみます。

まず最初に格子が並んでいるのではなく、一つの原子だけ、が平衡位置を基準にして1次元ばね振動している場合を考えます。

質量をM、ｘ軸上の粒子を位置座標（平衡位置からのずれ）をu(t)で表し、原点からばね定数Kのばねで力を受けるとします。（自然長は考えなくてよい）

この粒子がしたがうばね振動の方程式を考えると、高校物理、大学1年の力学でも出てくるように

M\frac{{{d^2}{u}(t)}}{{d{t^2}}}=-k u(t)

です。

この解を

u(t)=A \exp[-i\omega t]として、\omegaを求めなさい。