On considère le signal discret de échantillons défini par :

où  et 

On calcule la transformée de Fourier de ce signal discret, que l'on note . 

Donner la valeur du module du coefficient de Fourier correspondant à la fréquence  . 

Aide. Les principales étapes sont 

• Exprimer la TFD de ce signal : il faut pour cela déterminer les indices pour lesquels les échantillons sont non nuls
• Utiliser la formule de la somme des termes d'une suite géométrique pour calculer la somme précédente
• Faire apparaître des sinus pour simplifier la formule et prendre le module. 
• Calculer quel indice  correspond à    et remplacer dans la formule trouvée précédemment. 

NB : on rappelle que pour une suite géométrique de raison , on a

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Consider the discrete signal of samples defined by :

where and

We calculate the Fourier transform of this discrete signal, which we denote . 

Give the value of the modulus of the Fourier coefficient corresponding to the frequency . 

Tips! The main steps are 

• Express the DFT of this signal: to do this, determine the indices for which the samples are non-zero.
• Use the formula for the sum of the terms of a geometric sequence to calculate the previous sum.
• Use sine waves to simplify the formula and take the modulus.
• Calculate which index corresponds to and replace in the formula found previously.