À la fin du XIXe siècle, Émile Amagat a réalisé l’appareil une presse (Figure 1) pour étudier les gaz aux fortes pressions.

Le gaz exerce une pression P sur l’aire s d’un piston de masse m = 1 kg plongeant dans un bac de section S = 1000 cm²  rempli de mercure (masse volumique ρ = 13 600 kg·m^-3) par l’intermédiaire d’une couche d’huile (masse volumique ρ’ = 800 kg·m^-3) de hauteur h’ = 10 cm.

Un manomètre à mercure associé à l’appareil permet de mesurer une hauteur h en prenant la limite entre le mercure et l’huile comme plan de référence. L'accélération de la pesanteur est g = 9,81 m/s². On considérera l’huile et le mercure comme des fluides incompressibles. On utilisera deux chiffres significatifs.

Figure 1 : Presse d'Amagat.

• On réalise d’abord un essai à la pression atmosphérique (soit P = P₀ ≈ 10⁵ Pa) et on mesure la valeur particulière h₀ de h.

1.  Déterminer la pression régnant sur la partie haute de l’huile, à la base du piston:
   P₁ = bar, ainsi la pression engendrée par le piston est
   négligeable

   significative
   relativement à la pression atmosphérique.

2. Déterminer la pression régnant à la limite entre huile et mercure (plan de référence) et en déduire la hauteur h₀ du mercure du manomètre, en fonction des données du problème :
   h₀ = mm

• On réalise ensuite un essai à la pression P = 100 bar  (à noter que le rapport des sections du piston est de S/s = 200).

1. Déterminer la valeur de h dans ces conditions :
   h = mm

2. On peut ainsi montrer que la pression différentielle P - P₀ peut être décrite par la différence de hauteur barométrique h - h₀ par une relation de proportionnalité de facteur k. Quelle est alors la valeur de k ? Si la valeur maximale h - h₀ mesurable est de 12 m, quelle est alors la pression maximale mesurable P_max ?
   k = bar/mm, P_max = kbar

• En supposant que ∆h = ∆h₀ = 10^-3 m et que ∆(S/s) = 0,2, déterminer l’incertitude absolue sur P - P₀ (on néglige les incertitudes sur g et ρ).
  1. Pour h - h₀ = 1 m, Δ(P-P₀) = bar

  2. Pour h - h₀ = 12 m, Δ(P-P₀) = bar

  3. A partir de quelle valeur de P peut-on négliger P₀ ?
     P = bar