\mathbb{r}(t) = (x(t), y(t), z(t)) parametrizazioaz definitzen den C kurba baten gaineko lerro-integrala honela definitzen da:

\int_{C}{\overrightarrow{V}\cdot d\overright{\mathbb{r}} = \int_{a}^{b} \overrightarrow{V}(\mathbb{r}(t))\cdot \mathbb{r}'(t)dt}

non a, b \in\mathbb{R} puntuak t parametrizazioko aldagaiaren definizio-eremuaren mugak diren, eta \overrightarrow{V} kurbako puntu guztietan jarraitua den bektore-eremu bat den. Integral honek, \overrightarrow{V} -k, masa bat C kurba zeharkatzean egituen duen lanaren balioa ematen digu eta ibilbidearen norabidearen menpekoa da.

Izan bedi esfera baten eta zilindro baten arteko ebakidurak definitzen duen C kurba, non esferaren eta zilindroaren ekuazioak ondorengoak diren:

x^2 + y^2 + z^2 = 1 eta (x - \frac{1}{2})^2 + y^2 = \frac{1}{4}

Kalkula ezazu kurbaren parametrizazioa t\in \[0,2\pi] aldagai baten menpe eta esan zein den aukera zuzena. Horretarako:

1. Kalkulatu XY planoko (x(t), y(t)) parametrizazioa lehenik: zilindroaren oinarriko zirkunferentzia.
2. Lortu Z aldagaiaren z(t) parametrizazioa esferaren ekuazioa erabilita.

Izan bedi (x(t), y(t), z(t)) parametrizazioaz definitzen den C kurba, non t\in \[\alpha, \beta] den eta bere bektore ukitzailearen modulua 1 den edozein (x(t), y(t), z(t)) kurbako puntutan. Demagun C kurban zehar F: \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R} funtzio jarraitu bat definitua dagoela, puntu bateko masa-dentsitatea definitzen duena. 

Jakinik C kurba F(x,y,z)=k maila-gainazal batean definitzen dela, kalkulatu C kurbaren M masa, k, \beta eta \alpha balioen menpe.

Izan bedi L jatorrian zentratutako R erradiodun zirkunferentzia. Green-en teorema aplikatuta, 

\oint_L{\frac{-y dx + x dx}{x^2+y^2}} =0

emaitza lortzen da.

Izan bitez D \subset \mathb{R}^2 eremu itxi bornatu bat mugatzen duen C kurba itxia, eta \overrightarrow{V} = (\mathbb{X}(x,y),\mathbb{Y}(x,y)) bektore eremu jarraitua \forall (x,y)\in D . Orduan, beteko da:

\oint_{C}{\overrightarrow{V}d\overrightarrow{r}} =0

Izan bitez z^2 = x^2 + y^2 konoak, z=4 planoak, z=0 planoak mugatzen duten gorputza. Kalkula ezazu gorputzaren bolumena.

Izan bedi D \subset \mathbb{R}^2 eremu itxi bat, eta f: D \longrightarrow \mathbb{R} funtzioa, \forall (x,y) \in D definitua. f funtzioak D eremuko dentsitatea adierazten badu, bere grabitate zentroa, hurrengo moduan definitzen da:

GZ = (x_{c}, y_{c}) = \left( \frac{\int\int_{D} x f(x,y) dxdx}{\int\int_{D} f(x,y) dxdy}, \frac{\int\int_{D} y f(x,y) dxdx}{\int\int_{D} f(x,y) dxdy}\right).

Esan ezazu hurrengo inplikazioa egia ala gezurra den:

f jarraitua bada D -ko edozein puntutan, orduan, GZ \in D

Izan bedi F(x,y) irudiko D1 eremuan definitutako funtzioa. Zein

L luzerako aldeak dituen pentagono erregular baten azalera, A=\frac{5L^2}{4} \cot (\frac{\pi}{5}) formularen bidez kalkula daiteke. Hurrengo irudian azaltzen den pentagono zilindrikoaren bolumena kalkula ezazu:

Izan bedi f: \math{S} \subset \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R} funtzio jarraitua \forall (x,y,z) \in \math{S} \ . Esan ezazu hurrengo baieztapena zuzena ala okerra den:

\int \int \int_{\math{S}} f(x,y,z) dxdydz integralaren balioa, integrazio ordenarekiko independientea da, hau da, integrazio ordenak ez du integralaren balioan eraginik izango.