Подведем итоги.

Укажите, с помощью каких теорем можно вычислить следующие интегралы:

Интегральная формула Коши.  Пусть --- замкнутый контур, ограничивающий область , функция аналитическая в области и на границе , --- некоторая внутренняя точка области. Тогда интегрирование вдоль контура ведется в положительном направлении (против часовой стрелки).

 Следствие. Пусть функция, аналитическая в точке , тогда

 Таким образом, из аналитичности функции в некоторой точке, следует существование и аналитичность в окрестности этой точки производных (любого порядка) данной функции.

Теорема Коши. Если функция аналитична в односвязной области и на её границе , то интеграл от этой функции по границе области  равен нулю.

Из этой теоремы следует, что интеграл по любой кривой, лежащей в области аналитичности функции, не зависит от вида кривой, а  зависит только от самой функции и начальной и конечной точек:

Укажите, для вычисления каких интегралов можно применить теорему Коши или следствие из неё?

Интегрирование аналитической ФКП.

 Теорема Коши. Если функция аналитична в односвязной области и на её границе , то интеграл от этой функции по границе области  равен нулю.

Из этой теоремы следует, что интеграл по любой кривой, лежащей в области аналитичности функции, не зависит от вида кривой, а  зависит только от самой функции и начальной и конечной точек:

 Вопрос: почему из теоремы следует, что интеграл по любой кривой, лежащей в области аналитичности функции, не зависит от вида кривой?

Определите связность областей:

Интегрирование аналитической ФКП.

Если область ограничена одной замкну6той гладкой или кусочно-гладкой кривой, то эта область называется односвязной.

 Теорема Коши. Если функция аналитична в односвязной области и на её границе , то интеграл от этой функции по границе области  равен нулю.

Из этой теоремы следует, что интеграл по любой кривой, лежащей в области аналитичности функции не зависит от вида кривой, а  зависит только от самой функции и началь9ной и конечной точек:

 Теорема Коши для многосвязной области. Если функция аналитична в многосвязной области и на её границах , то интеграл от этой функции по внешней границе области равен сумме интег2ралов по внутренним границам : .

Вопрос: какие символы-опечатки лишние в тексте этой страницы (в формулах опечаток нет!)? Укажите эти символы в ответе в том порядке, как они стоят в тексте (без пробелов)

Кривая задана параметрически: .

Вычисление интеграла от ФКП.

Если функция представлена в виде суммы действительной и мнимой частей:     , то в этом случае вычисление интеграла функции комплексного переменного сводится к вычислению двух криволинейных интегралов по координатам:    

Если кривая задана параметрически , то в комплексной форме: . В этом случае вычисление интеграла  сводится к формуле   

Пример. Кривая задана параметрически: .