Realizarle una operación elemental por fila a una matriz es equivalente a multiplicar la matriz , del lado izquierdo, por la correspondiente matriz elemental. 

Si es la MERF equivalente por filas a , entonces hay una matriz tal que es producto de matrices elementales y .

Sea una matriz de y sea la matriz ampliada con la matrix identidad de . 

La matriz elemental correspondiente a la operación elemental "a la fila le sumo la fila multiplicada por " es una matriz en cuya diagonal solo hay 1s.

En hay solo una cantidad finita de matrices escalón reducidas por filas.

La forma reducida escalonada por filas de una matriz es única, independientemente de la secuencia de operaciones elementales utilizadas.

Si es la MERF equivalente por filas a , entonces el sistema de ecuaciones tiene el mismo conjunto de soluciones que el sistema .

Si es la MERF equivalente por filas a , entonces el sistema de ecuaciones tiene el mismo conjunto de soluciones que el sistema .

Cada vez que realizamos operaciones elementales por filas a un sistema de ecuaciones, las soluciones del sistema no cambian. 

Si en analogía a las operaciones elementales por filas hacemos operaciones elementales por columna, entonces las soluciones del sistema no cambian.

Si es la MERF equivalente por filas a la matrix ampliada , entonces el sistema de ecuaciones tiene el mismo conjunto de soluciones que el sistema .

Si la matriz proviene de un sistema lineal homogeneo, entonces las columnas que tienen un 1 pivote corresponden a variables dependientes, las columnas sin 1 pivote corresponden a variables libres.

El primer elemento no nulo de cada fila (llamado pivote) debe ser el número 1.

Si una fila es nula, todas las filas debajo de ella también serán nulas.

Todas las filas nulas deben estar en la parte inferior de la matriz.

Cada columna que contiene un pivote debe tener ceros en todas las demás posiciones.

No puede tener ninguna columna con todos sus elementos iguales a cero.

Si el sistema tiene la misma cantidad de ecuaciones que de incógnitas, entonces solo admite la solución trivial.

Si el sistema tiene más ecuaciones que incógnitas, entonces podría no haber ninguna solución.

Si el sistema tiene menos ecuaciones que incógnitas, entonces tiene infinitas soluciones.

La suma de dos soluciones es también solución

Si el sistema tiene ecuaciones y incógnitas con , entonces las soluciones vienen parametrizadas por parámetros libres. Además, la cantidad de incógnitas que quedan libres es .

Si el sistema tiene más ecuaciones que incógnitas, entonces solo admite la solución trivial.

Si el sistema tiene más ecuaciones que incógnitas, entonces podría no haber ninguna solución.

Si el sistema tiene menos ecuaciones que incógnitas, entonces tiene infinitas soluciones.

Si el sistema tiene más ecuaciones que incógnitas, entonces no tiene solución.

Si el sistema tiene una solución , entonces toda otra solución es suma de más una solución del sistema homogéneo  .

Si el sistema tiene una única solución, entonces la cantidad de ecuaciones es mayor o igual que la cantidad de incógnitas.

La suma de dos soluciones es también solución.