現代理学特別講義 (9910B01) Course Materials & Test Answers | letus.ed.tus.ac.jp

動画の後半に出てきた統計力学を使って物理現象がどのように理解できるかを考えてみます。初めてやる人が多いと思いますので、順番に考えていきましょう。

まず、一般に物質は熱すると輻射の形で光を出します。鉄を熱したら赤くなるのもこの現象です。

この状況をミクロの世界で見ると、個々の光の粒子は量子力学にしたがって運動しており、そのエネルギーは正の整数ｎを用いて

$E_n=n \hbar \omega$ E_n=n \hbar \omega n=0,1,2,3..

( $\hbar$ \hbarはプランク定数、 $\omega$ \omegaは正の定数で振動子定数と呼ばれる）

となっています。この式は1900年にプランクにより提唱され、そこから量子力学が始まりました。ｎの値に応じてエネルギーの低い光から高いエネルギーまで記述できます。

統計力学のボルツマン分布を用いると、エネルギーEを持つ状態nが存在する確率は

$\exp[-\beta E_n]=\exp[-\beta n \hbar \omega]$ \exp[-\beta E_n]=\exp[-\beta n \hbar \omega]

で与えられます。ここは受け入れてください。ここで $\beta$ \betaは逆温度 $\beta=1/(k_B T)$ \beta=1/(k_B T)と呼ばれます。

この式から、温度k_B Tより小さいエネルギーの光子は多く存在し、より大きいエネルギーの光子は指数関数的に減少してほぼ存在しません。（ただここで確率と言っているのは相対的なものなので、全確率を１にするには一工夫いります）

動画で説明しているように、これらを用いて多くの光子がいる系のエネルギーの値を決定することができます。この系のエネルギーを計算する式として適当なものを選びなさい。

$\frac{{\sum\limits_{n = 0}^\infty{n\hbar \omega {e^{ - \beta n\hbar \omega }}} }}{{\sum\limits_{n = 0}^\infty{{e^{ - \beta n\hbar \omega }}} }}$ \frac{{\sum\limits_{n = 0}^\infty{n\hbar \omega {e^{ - \beta n\hbar \omega }}} }}{{\sum\limits_{n = 0}^\infty{{e^{ - \beta n\hbar \omega }}} }}

$\frac{{\sum\limits_{n = 0}^\infty {n\hbar \omega ({e^{ - \beta n\hbar \omega }}}- {e^{\beta n\hbar \omega }})}}{{\sum\limits_{n = 0}^\infty {n\hbar \omega ({e^{ -\beta n\hbar \omega }}}+{e^{\beta n\hbar \omega }})}}$ \frac{{\sum\limits_{n = 0}^\infty {n\hbar \omega ({e^{ - \beta n\hbar \omega }}}- {e^{\beta n\hbar \omega }})}}{{\sum\limits_{n = 0}^\infty {n\hbar \omega ({e^{ -\beta n\hbar \omega }}}+{e^{\beta n\hbar \omega }})}}

$\sum\limits_{n = 0}^\infty{n\hbar \omega ({e^{- \beta n\hbar \omega }}}- {e^{\beta n\hbar \omega }})$ \sum\limits_{n = 0}^\infty{n\hbar \omega ({e^{- \beta n\hbar \omega }}}- {e^{\beta n\hbar \omega }})

$\sum\limits_{n= 0}^\infty{n\hbar \omega {e^{ - \beta n\hbar\omega}}}$ \sum\limits_{n= 0}^\infty{n\hbar \omega {e^{ - \beta n\hbar\omega}}}

$\frac{{n\hbar \omega {e^{ - \beta \hbar \omega }}}}{{\sum\limits_{n= 0}^\infty{{e^{ -\beta n\hbar \omega }}} }}$ \frac{{n\hbar \omega {e^{ - \beta \hbar \omega }}}}{{\sum\limits_{n= 0}^\infty{{e^{ -\beta n\hbar \omega }}} }}

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