Toute famille génératrice d'un -espace vectoriel est aussi génératrice de en tant que -espace vectoriel.

Soit une famille de vecteurs d'un espace vectoriel .

libre

Soient et deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel . Si est une famille génératrice de et une famille génératrice de , alors est une famille génératrice de .

Deux vecteurs colinéaires dans un espace vectoriel ne sont jamais liés.

Toute famille libre dans un espace vectoriel ne comporte jamais plus de vecteurs que n'importe quelle base de .

Les familles génératrices d'un espace vectoriel ont toujours le même nombre d'éléments.

Si est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel et si est une famille libre de vecteurs de , alors est une famille libre de vecteurs de .

est une base de .

est une base de .

est une famille génératrice de .

est une famille libre.

est une famille libre.

est combinaison linéaire de et .

est une famille génératrice de .

est une base de .

La famille de vecteurs obtenue en enlevant l'un des est encore libre dans .

Toute combinaison linéaire des égale au vecteur nul est une combinaison linéaire dont tous les coefficients sont nuls.

Au moins l'un des s'écrit comme combinaison linéaire des autres vecteurs de la famille.

Le vecteur nul fait nécessairement partie de cette famille.

Toute famille de vecteurs de contenant tous les est liée dans .

Il existe une sous-famille finie des qui est génératrice dans .

Toute famille de vecteurs de contenant tous les est libre dans .

Tout vecteur de est combinaison linéaire des .

La famille de vecteurs obtenue en enlevant l'un des n'est plus génératrice dans .

.

La multiplication par un scalaire est distributive à gauche par rapport à l'addition dans .

La multiplication par un scalaire est distributive à droite par rapport à l'addition dans .

L'élément neutre pour l'addition est .

est un -espace vectoriel.

est un sous-groupe de .

est un sous-anneau de .

est surjective.

est injective.

est un morphisme de l'anneau .

.