Quel est l'ensemble image de cette relation ?

Quel est le domaine de cette relation ?

Quelle est le digraphe de cette relation ?

Soit la relation   de vers dont la représentation sagittale est la suivante.

Donner son écriture en extension.

Une urne contient 3 boules vertes, une boule noire et une boule rouge.

A chaque étape le joueur tire une boule aléatoirement.

• Si le joueur tire une boule verte, il la garde.
• Si le joueur tire la boule noire, celle-ci est retirée du jeu
• Si le joueur tire la boule rouge, il la remet dans l'urne ainsi qu'une boule verte qu'il aurait tirée précédemment.

Si le joueur a deux boules vertes, il a gagné et le jeu s'arrête. Il n'y a donc qu'un seul état final "Gagné" !

1) Donner la matrice de transition P du processus de Markov modélisant ce jeu. Expliquez bien les différents états que vous considérez.

2) Combien y a-t-il de classes de communication ?  

3) Peut-on, grâce à un théorème, conclure à l'existence d'une distribution stable unique ? Justifiez !

4) Donnez la matrice du système à résoudre pour trouver le nombre moyen de tirages nécessaires pour terminer le jeu.

Une urne contient 2 boules vertes, une boule noire et une boule rouge.

A chaque étape le joueur tire une boule aléatoirement.

• Si le joueur tire une boule verte, il la garde.
• Si le joueur tire la boule noire, il la remet dans l'urne et il retire une boule verte de l'urne qui est mise de côté
• Si le joueur tire la boule rouge, il la remet dans l'urne ainsi qu'une boule verte qui aurait été mise de côté précédemment.

Si 

• le joueur a deux boules vertes, il a gagné et le jeu s'arrête. Il n'y a donc qu'un seul état "Gagné" !
• le joueur n'a pas encore deux boules vertes et qu'il n'y a plus de boule verte dans l'urne, il a perdu et le jeu s'arrête. Il n'y a donc qu'un seul état "Perdu" !

1) Donner la matrice de transition P du processus de Markov modélisant ce jeu. Expliquez bien les différents états que vous considérez.

2) Combien y a-t-il de classes de communication ? Justifiez !

3) Peut-on, grâce à un théorème, conclure à l'existence d'une distribution stable unique ? Justifiez !

4) Afin de déterminer les probabilité de gagner et de perdre, le joueur aimerait connaître le temps moyen passé par le processus dans chaque état. Donnez la matrice du système à résoudre pour trouver ces temps moyens.

Soit R la relation définie sur l'ensemble E = {-2,-1,0,1,2} dont le digraphe est donné ci-dessous :

Soit S la relation sur l'ensemble E = {-2,-1,0,1,2} définie par x↔y si et seulement si |x-y| ≤ 3 et x-y est divisible par 3.

1°) Donnez S en extension

2°) Donnez S R en extension

Dans la suite de la question, on considère que la relation S est définie sur l'ensemble des entiers.

3°) La relation S est-elle antiréflexive, réflexive, symétrique, antisymétrique, transitive ? Justifiez !

4°) Si S est une relation d'équivalence, donnez-en son quotient. Sinon, donnez le quotient de la clôture équivalente de S.