Интегральная теорема Муавра-Лапласа позволяет найти вероятность попадания в интервал при условиях, оглашенных в предыдущем пункте. 

Вероятность того, что количество успехов лежит в некоторых пределах, можно вычислить как <<.

Но первообразной от функции Гаусса в природе не существует. Выход из ситуации следующий: с помощью разложения в степенные ряды вычислить значения для различных пределов интегрирования и записать в "шпаргалке".

Введём вспомогательную функцию: ,

тогда функция Лапласа

<<.

Задание: Вычислить с точностью до 3-ех знаков после запятой значение функции Лапласа при , где - номер варианта РГР. Сдать на практике в зачет теории.

Предельные случаи в схеме Бернулли.

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Продолжаем рассматривать крайности. 

Формула Пуассона работает прекрасно, если вероятность успеха небольшая - тогда тоже небольшое и так же в разумных пределах.

 Если ? Ну или даже 20? Уже нереально вычислять.

Поможет пристальный взгляд на уже знакомую картинку: 

Непрерывный "отформатированный" вариант этого так сказать "наблюдения" называется функция Гаусса: .

В идеале она выглядит так:

Оказывается, что

Значения функции Гаусса хранятся в табличках в конце каждого учебника по теории вероятностей. 

Свойства функции очевидны: чётная, один экстремум (максимум), положительная.

И, да, площадь подграфика равна . В это прийдётся поверить, так как проверить вы не сможете: определённый интеграл от функции Гаусса является неберущимся. Но его значения для различных пределов интегрирования тоже вычислены (спасибо Тейлору и его рядам, помните такие?)  хранятся в табличках в каждом учебнике по ТВ. 

Задание: Вычислить определённый интеграл от функции Гаусса на отрезке с точностью до 3-ех знаков после запятой. Сдать на практике в зачет теории.

Предельные случаи в схеме Бернулли.

Формула Пуассона.

Итак, вероятность числа успехов вычисляется по формуле

И если , и держатся в рамках приличия, то эта формула прекрасно работает. 

А если очень маленькая? Представьте, как Вы вычислите . Это практически 0. Но при этом может оказаться очень большим числом, и в произведении получается достаточно ощутимая величина, которую до нуля округлять нельзя. Но вычисления уж очень ...

Если использовать формулу Стирлинга, и пару раз ловко перейти к пределу, то формула преобразуется:

Перед вами формула Пуассона: , - среднее (наивероятнейшее) число успехов.

Вопрос: Если , то чему равно среднее (наивероятнейшее) число успехов?

Наивероятнейшее число успехов в схеме Бернулли

Вопрос: если вероятность брака 21%, то сколько деталей из 200 штук будут бракованные?

Готова поспорить, что вы ответили, что 42.

И совершенно верно!

Наивероятнейшее число успехов в испытаниях, при заданной вероятности успеха в одном испытании  равно , если это число целое. Если оно не целое, то округление происходит не совсем обычно, а с учётом вероятности: или, преобразовав,  

Это можно пронаблюдать, разглядывая следующий график:

Вопрос: Если , а событие наступает в среднем в 9 случаях из 35, то какое число успехов чаще всего будем наблюдать? Если получается несколько значений, то в ответ напишите наименьшее

Количество опытов, необходимое для хотя бы одного из успехов.

Задача: найти число испытаний, чтобы с вероятностью произошло хотя бы одно успешное.

Вероятность того, что успешным эксперимент не будет  ни разу за попыток: .

Вероятность, что успех случится хотя бы один раз: .

По условию, эта вероятность должна быть не меньше  : .

Следовательно, ,   .

Прологарифмируем обе части неравенства (знак поменяется, так как основание логарифма меньше 1):  .

Используем одно замечательное свойство логарифма и получаем оценку:

Вопрос: В детской колоде карт на каждой карте нарисовано одно животное. Там есть 5 зайчиков, 5 лисичек, 5 волков и 5 белок (других карт нет). Вытаскивают карты по одной, возвращая каждый раз обратно вытащенную карту в колоду. Какое наименьшее количество карт надо вытащить, чтобы с вероятностью 0,5 попалась хотя бы одна лисичка? 

Количество опытов, необходимое для хотя бы одного из успехов.

Задача. Очень надо попасть в цель. Для самообороны, например. Известно, что каждый выстрел попадает в цель с вероятностью , а патроны, ну, очень дорогие. Внимание, вопрос: сколько надо запасти патронов (по минимуму), чтобы поразить цель с вероятностью хотя бы ?

Попасть можно как с первого, так и с последнего раза.

Вероятность того, что не попадём ни разу за попыток: .

Вероятность, что попадём хотя бы один раз: .

По условию, эта вероятность должна быть не меньше : .

Следовательно, ,   .

При это неравенство впервые выполняется. 

Следовательно, заложив в бюджет сумму на три патрона, есть неплохие шансы выжить.

Вопрос: какое количество патронов мы получили?

Вопрос:  Вениамин сдает все экзамены одинаково хорошо. Вероятность сдать хотя бы 1 экзамен из 5 на "отлично" равна 0,83193. С какой вероятностью Вениамин сдаст 2 экзамена из 4 на "отлично"? Ответ округлите до 3-ёх знаков после запятой.

Очевидно, что вероятность наступления хотя бы одного из успехов можно вычислить как

.

Но это очень длинная процедура...

Давайте посмотрим с другой стороны: "произойдёт хотя бы один успешный эксперимент" - это противоположность к "все эксперименты будут неудачные". Вероятность того, что все эксперименты будут неудачные равна . Следовательно, вероятность того, что произойдёт хотя бы один успешный эксперимент, равна .

Вопрос: В детской колоде карт на каждой карте нарисовано одно животное. Там есть 8 зайчиков, 7 лисичек, 3 волков и 2 белок (других карт нет). Какова вероятность того, что попадётся хотя бы одна белка, если вытаскивать 3 карт по одной, возвращая каждый раз обратно эту карту в колоду? Ответ округлите до 3-eх знаков после запятой.

Схема Бернулли - это модель для описания серии экспериментов, которая удовлетворяет следующим условиям:

 Условные обозначения:

Вопрос: Среди перечисленных серий опытов под определение схемы Бернулли подходит...

Вероятность успехов в испытаниях в схеме Бернулли - .

Вероятность того, что фиксированных экспериментов будут успешными, равна . Вероятность того, что произвольных эксперимента будут успешными, зависит от того, сколькими способами этих "счастливчиков" можно выбрать из . Выбрать элементов из можно, как известно из комбинаторики, способами. Следовательно, .

Вопрос: Какова вероятность того, что при  7 подбрасываниях монеты выпадет ровно четыре орла?